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モンティ・ホール問題って知ってる?

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なになに~? エサ?

 

こんにちは!
きんぎょです。

 

先日、ネットサーフィン(死語)をしていた所、面白い話題を発見しました!

 

ズバリ!
モンティ・ホール問題についてです!

 

本日は「モンティ・ホール問題」について取り上げてみたいと思います!

 

モンティ・ホール問題ってなに?

 

Wikipediaより、
内容を抜粋してみましょう!

 

■モンティ・ホール問題とは?

「モンティ・ホール問題」とは、確率論の問題のひとつです。

モンティ・ホールさんという方が司会者を務める、アメリカのゲームショー番組で行われたゲームに関する論争に由来するそうです。

一種の心理トリックになっており、確率論から導かれる結果を説明されても、なお納得しない者が少なくないことから、直感で正しいと思える解答と、論理的に正しい解答が異なる問題の適例とされる。

 

・・・で!?

 

説明文だけ読んでもチンプンカンプンですので、早速、実際にゲームショー番組で提示された問題を見てみましょう!

 

実際の問題とは!?

■前提条件

①プレーヤーの前に閉じた3つのドアがあって、1つのドアの後ろには景品の新車が、残り2つのドアの後ろには、はずれを意味するヤギがいる。

②プレーヤーはあたりのドアを当てると、新車がもらえる。

③プレーヤーが1つのドアを選択した後、司会のモンティが残りのドアのうちヤギがいるドアを開けてヤギを見せる。

④ここでプレーヤーは、最初に選んだドアを、残っている開けられていないドアに変更してもよいと言われる。

 

■問題

ここでプレーヤーはドアを変更したほうが当たる確率が高まるだろうか?

それともそのままでいた方がよいのだろうか?

 

は!?
こんなのどっちでも一緒でしょ?

 

そう思いますよね?

 

しかし正解は、

「ドアを変更する」です!

 

なぜなら、ドアを変更した場合には景品を当てる確率が2倍になるからです!

 

皆さんは、
正解できましたか?(^^♪

 

何故「ドアを変更する」方がよいのか!?

 

え~!?
どうしてなの~?
2つに1つなんだから、確率は「50%:50%」じゃん!

かぁ~!
これだから低能な出目金は困るんだ!

 

そうなのです!

直感的に考えれば、残りのドアは2つなんだから、1つ空いたからといって今更変更しても確率は「50%:50%」で変わらないと思いますよね!?

 

でも違うのです!

よ~く考えてみてください!

 

例えば、各ドアの名称を

・ドアA(あたり)
・ドアB
・ドアC

とします。

 

最初に「ドアA」を選択する確率は3分の1です。

ここではドアを変更してはいけません!

 

 

一方、残りの「ドアB」、「ドアC」を選んだ場合 — 要するに最初の一つ目で「はずれドア」を選択した場合 — を考えてみましょう。

 

はずれドアを選択した場合、上記の「前提条件③」で、司会者が残った2つのドアの内、「はずれのドア」を開けてくれます。

 

これにより、必然的に司会者が明けなかったドアが「あたり」ということが確定します。

 

だって自分が「はずれドア」を選んでて、もう一つのはずれも司会者が明けてくれるんだったら、残りは「あたりドア」だよね!

 

この場合は、④でドアを変更すれば、必ず勝つことができます!

 

そして・・・
最初に「ドアB」、「ドアC」を選択する確率は3分の2です。

 

 

纏めてみましょう(^^♪

 

①最初に「ドアA(あたり)」を選んだ場合
 ⇒④で変更しても、確率は「50:50」

②最初に「ドアB(はずれ)」を選んだ場合
 ⇒④で変更すれば、必勝!

③最初に「ドアC(はずれ)」を選んだ場合
 ⇒④で変更すれば、必勝!

 

このように、ドアを選ぶパターンは3通りありますが、3つの内ドアを選びなおす2パターンでは勝率100%です!

 

要するに、「④でドアを変更すれば、3分の2の確率で勝てる」のです!

 

前提条件③にて、残ったドアの内、司会者が「必ず」はずれの方を開ける、というのが味噌です!

 

司会者がドアを開けてみせた直後にUFOがステージに到着して宇宙人が出てきたと仮定する。

人間の出場者が最初に選んだ扉を宇宙人は知らずに司会者がまだ開けられていない2つの扉のどちらかを選択するよう宇宙人に勧めると、この時の確率が五分五分になる。

しかし、それは宇宙人が本来の出場者が司会者から得たヒントを知らないためである。

仮に景品が扉2にある場合、司会者は扉3を開ける。

扉3に景品がある場合は扉2を開ける。

つまり景品が扉2または扉3にあるなら、出場者が扉の選択を変えれば勝利する。

『どちらかでも勝てるのです!』

でも扉を変えなければ、扉1に賞品がある場合しか勝てないのです。

 

す、素晴らすぃい!

・・・でもそんなの屁理屈じゃないの?

だまれ!この出目金が!

 

まとめ

 

いかがですか!?

解説を見て、納得頂けたでしょうか?

 

きんぎょも解説を読んで、
「なるほどな」とは思いました。

 

一方で、果たして実際にこのような選択を迫られた場合、本当に選びなおした方が有利なのかという事には、なお疑問が残ります。

 

しかし、Wikipediaによると、実際にコンピューター上でシュミレーションしたところ、この解説の考えが正しいことが立証できたとのことです。

 

プロ数学者ポール・エルデシュの弟子だったアンドリュー・ヴァージョニが本問題を自前のパーソナルコンピュータでモンテカルロ法を用いて数百回のシミュレーションを行うと、結果はサヴァントの答え(上記の解説)と一致。

エルデシュは「あり得ない」と主張していたがヴァージョニがコンピュータで弾き出した答えを見せられサヴァントが正しかったと認める。

その後、カール・セーガンら著名人らがモンティーホール問題を解説、サヴァントの答えに反論を行なっていた人々は、誤りを認める。

 

まさに、「直感で正しいと思える解答と、論理的に正しい解答が異なる」実例の代表といえるでしょう!

 

また一つ、お利巧さんになっちゃったね!

 

この問題を会社の仕事に応用して・・・は無理か(^^💦

雑学として、話のタネには使えるかもしれませんね!

 

きんぎょの雑学講座でした~

モンティ・ホール問題 - Wikipedia

www.kinngyo92.com

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